Le trésor

Trois cassettes. Le trésor se trouve dans l'une des trois.
Il faut choisir au hasard une cassette. Deux étapes pour cela: le joueur choisit d'abord au hasard une cassette. On lui indique alors, parmi les deux restantes, une cassette qui ne contient pas le trésor. Il peut alors rejouer.

Quelle est la meilleure tactique:

• ne pas changer le premier choix
• changer le premier choix 
• tirer à pile ou face entre les deux cassettes possibles

Solution :

Il faut comparer les probabilités de gagner le trésor dans chacun des trois cas.

1^er cas : le joueur ne change pas son premier choix

La probabilité de gagner le trésor est égale à la probabilité d'avoir fait directement le bon choix, c'est à dire 1/3 (une chance sur trois)

2^ème cas : le joueur tire à pile ou face entre les deux cassettes possibles

S'il tire à pile ou face entre les deux cassettes (on lui en élimine une qui ne contient pas le trésor), il a une chance sur deux de gagner : la probabilité est 1/2

3^ème cas : le joueur change son premier choix

La probabilité de gagner le trésor est égale à la probabilité de s'être trompé au premier choix, c'est à dire 2/3.

En effet, s'il ne s'est pas trompé au premier choix, il n'a aucune chance de trouver le trésor dans les deux autres cassettes (probabilité nulle) ; s'il s'est effectivement trompé, il choisira ensuite la bonne cassette, puisqu'on lui indique parmi les deux restantes celle qui ne contient pas le trésor.

(Plus rigoureusement, le premier choix étant fait au hasard, on est dans un situation d'équiprobabilité entre les différents évènements ; par ailleurs, les évènements "se tromper au premier choix" et "changer d'avis" sont indépendants ; la probabilité de se tromper au premier choix sachant qu'il change d'avis est donc égale à la probabilité de se tromper au premier choix.)

On compare les probabilités dans les trois cas : 2/3 > 1/2 > 1/3 . La meilleure tactique est donc de "changer le premier choix".